ÁNH XẠ CO KIỂU MEIR-KEELER TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC, ÁNH XẠ CO KIỂU MEIR-KEELER SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG
Năm 1969, A. Meir và E. Keeler: Giới thiệu khái niệm ánh xạ co kiểu Meir-Keeler và thu được một số kết quả về điểm bất động của các ánh xạ này
Năm 2012, H. Aydi, E. Karapinar và S. Rezapour: Giới thiệu một lớp các ánh xạ co kiểu Meir-Keeler suy rộng.
1. Định nghĩa ánh xạ co kiểu Meir-Keeler
Cho \((X,d)\) là một không gian mêtric và một tự ánh xạ \(T:X\to X\) trên \(X\). Khi đó, \(T\) được gọi là một ánh xạ co kiểu Meir-Keeler nếu với mỗi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho \begin{equation}\label{ct1.4} \begin{aligned} \mbox{nếu}\quad d(x, y) < \varepsilon + \delta,\ \mbox{thì ta có}\quad d(Tx, Ty) < \varepsilon. \end{aligned} \end{equation}.
2. Định nghĩa ánh xạ co kiểu Meir-Keeler suy rộng
Cho \((X,p)\) là không gian mêtric riêng và tự ánh xạ \(T:X\to X\) trên \(X\). Khi đó \(T\) được gọi là ánh xạ co kiểu Meir-Keeler suy rộng nếu với mọi \(\varepsilon > 0\) tồn tại \(\delta > 0\) sao cho \begin{equation}\label{ct1.5} \begin{aligned} \mbox{nếu}\quad \varepsilon \leq M(x, y) < \varepsilon + \delta,\ \mbox{thì ta có}\quad p(Tx, Ty) < \varepsilon, \end{aligned} \end{equation} trong đó $$ \displaystyle M(x, y) = \max \left\{ p(x, y), p(Tx, x), p(Ty, y), \frac{1}{2} \left[ p(Tx, y) + p(x, Ty) \right] \right\}. $$
3. Nhận xét
- Chú ý rằng nếu \(T\) là ánh xạ co kiểu Meir-Keeler suy rộng, thì ta có \begin{equation}\label{ct1.6} \begin{aligned} p(Tx, Ty) \leq M(x, y) \quad \mbox{với mọi}\ x, y \in X. \end{aligned} \end{equation} - Nếu \(M(x,y)=0\), thì từ \(\eqref{ct1.6}\) ta thu được \(p(Tx,Ty)=0\). Mặt khác, nếu \(M(x,y)>0\), thì nhờ công thức \(\eqref{ct1.5}\) ta thu được bất đẳng thức chặt sau \(p(Tx, Ty) < M(x, y)\).
4. Bổ đề
Cho \((X,p)\) là không gian mêtric riêng. Khi đó, ta có
(a) Nếu \(p(x,y)=0\), thì \(x=y\),
(b) Nếu \(x \neq y\), thì \(p(x,y)>0\),
(c) Nếu \(x_n \to z\) với \(p(z,z)=0\), thì \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} p(x_n, y) = p(z, y)\) với mọi \(y\in X\).
5. Mệnh đề
Cho \((X,p)\) là không gian mêtric riêng và \(T:X \to X\) là ánh xạ co kiểu Meir-Keeler suy rộng. Khi đó ta có \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} p(T^{n+1} x, T^n x) = 0\) với mọi \(x \in X\).
6. Định lí
Cho \((X,p)\) là không gian mêtric riêng \(0\)-đầy đủ và cho \(T:X \to X\) là ánh xạ co kiểu Meir-Keeler suy rộng, liên tục theo quỹ đạo. Khi đó, \(T\) có một điểm bất động duy nhất \(z \in X\). Hơn nữa, ta có \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} p(T^n x, z) = p(z, z)\) với mọi \(x \in X\) và \(p(z,z)=0\).
