TẬP X, ÁNH XẠ f: X --> X, BIỂU DIỄN CYCLIC CỦA TẬP X
Năm 2003, W. A. Kirk và cộng sự đã giới thiệu khái niệm về biểu diễn cyclic như sau.
1. Định nghĩa Biểu diễn cyclic của tập X
Cho tập \(X\neq \emptyset\) số \(m \in \mathbb{N}\) và \(f : X \to X\) là một tự ánh xạ. Khi đó, \(\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{m} A_i\) được gọi là một biểu diễn cyclic của \(X\) đối với \(f\) nếu thỏa mãn: \begin{align*} & (a) A_i \text{ là các tập con không rỗng của } X, \text{ với } i = 1, \ldots, m; \\ & (b) f(A_1) \subset A_2, f(A_2) \subset A_3, \ldots, f(A_{m-1}) \subset A_m, f(A_m) \subset A_1. \end{align*}
2. Định lí điểm bất động
Cho \((X,d)\) là một không gian mêtric đầy đủ, \(f : X \to X\) và cho \(\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{m} A_i\) là một biểu diễn cyclic của \(X\) đối với \(f\). Giả sử rằng \(f\) thỏa mãn điều kiện sau: $$ d(f(x), f(y)) \leq \psi(d(x, y)), \text{với mọi } x \in A_i, \; y \in A_{i+1}, \; i \in \{1, 2, \ldots, m\}, $$ trong đó, \(A_{m+1} = A_1\) và \(\psi : [0, 1) \to [0, 1)\) là một hàm nửa liên tục trên bên phải, thỏa mãn \(0 \leq \psi(t) < t\) với mọi \(t > 0\). Khi đó, \(f\) có một điểm bất động \(\displaystyle z \in \bigcap_{i=1}^{m} A_i\).
