Điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu Meir-Keeler thỏa mãn quan hệ chặt trong không gian mêtric riêng
Các điều kiện co mới thỏa mãn quan hệ chặt trong không gian mêtric riêng.
1. Định nghĩa
Ta gọi \({\cal F}_{MK}\) là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực liên tục \(F(t_1, \ldots, t_6) : \mathbb{R}^6_+ \to \mathbb{R}\), thỏa mãn các điều kiện sau \begin{align*} (F_1) &: \ F \ \text{là hàm không tăng theo các biến}\ t_2, t_3, \ldots, t_6, \\ (F_2) &:\ \text{Nếu}\ F(t, t, 0, t, t, t) \leq 0, \text{ thì ta có}\ t = 0, \\ (F_3) &:\ \text{Nếu}\ F(t, t, t, 0, t, t) \leq 0, \text{ thì ta có}\ t = 0. \end{align*}
2. Định lí
Cho \(A\), \(B\), \(S\) và \(T\) là các tự ánh xạ trên không gian mêtric riêng đầy đủ \((X, p)\) thỏa mãn các điều kiện sau
(i) \( \quad AX \subseteq TX \) và \(BX \subseteq SX\);
(ii) \(\quad \) Với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(\delta > 0,\) sao cho với mọi \(x, y \in X\),
\begin{equation} \label{ct2.22}
\text{nếu}\ \ \varepsilon < M(x, y) < \varepsilon + \delta, \text{ thì ta có } p(Ax, By) \leq \varepsilon,
\end{equation}
trong đó
$$
M(x, y) = \max \Big\{ p(Sx, Ty),\; p(Ax, Sx),\; p(By, Ty),\\
\frac{1}{2}\big[ p(Sx, By) + p(Ax, Ty) \big] \Big\};\\
$$
(iii) \( \quad \) Với mọi \(x, y \in X\),
\begin{equation} \label{ct2.23}
\text{nếu}\ \ M(x, y) > 0, \text{thì ta có} \ p(Ax, By) < M(x, y);
\end{equation}
(iv) \(\quad\) Với hàm nào đó \(F \in \mathcal{F}_{MK}\), ta có
\begin{equation} \label{ct2.24}
F\left(p(Ax, By), p(Sx, Ty), p(Sx, Ax), p(Ty, By), p(Sx, By), p(Ty, Ax)\right) \leq 0,
\end{equation}
với mọi \(x, y \in X\).
Nếu một trong các tập hợp \(AX, BX, SX, TX\) là một tập con đóng của không gian \((X, p)\), thì
(a) \(A\) và \(S\) có một điểm trùng nhau,
(b) \(B\) và \(T\) có một điểm trùng nhau.
Hơn nữa, nếu các cặp ánh xạ \(\{A, S\}\) và \(\{B, T\}\) là tương thích yếu, thì \(A, B, S\) và \(T\) có một điểm bất động chung duy nhất.
1. Định lí
Cho \(A\), \(B\), \(S\) và \(T\) là các tự ánh xạ trên không gian mêtric riêng đầy đủ \((X, p)\) thỏa mãn các điều kiện sau
(i) \(\quad AX \subseteq TX\) và \(BX \subseteq SX\);
(ii) \(\quad \) Với mọi \(\varepsilon > 0\), tồn tại \(\delta > 0,\) sao cho với mọi \(x, y \in X\),
\begin{equation} \label{ct2.26}
\text{nếu}\ \ \varepsilon < M(x, y) < \varepsilon + \delta, \text{ thì ta có } p(Ax, By) \leq \varepsilon,
\end{equation}
trong đó
$$
M(x, y) = \max \Big\{ p(Sx, Ty),\; p(Ax, Sx),\; p(By, Ty),
\frac{1}{2}\big[ p(Sx, By) + p(Ax, Ty) \big] \Big\};
$$
(iii) \(\quad\) Với mọi \(x, y \in X\),
\begin{equation} \label{ct2.27}\text{nếu}\ \ M(x, y) > 0, \text{thì ta có} \ p(Ax, By) < M(x, y);
\end{equation}
(iv) \(\quad\) Với hàm nào đó \(F \in \mathcal{F}_{MK}\), ta có
\begin{equation} \label{ct2.28}
F\left(p(Ax, By), p(Sx, Ty), p(Sx, Ax), p(Ty, By), p(Sx, By), p(Ty, Ax)\right) \leq 0,
\end{equation}
với mọi \(x, y \in X\).
Nếu một trong các tập hợp \(AX, BX, SX, TX\) là một tập con đầy đủ của không gian \((X, p)\), thì
(a) \(A\) và \(S\) có một điểm trùng nhau,
(b) \(B\) và \(T\) có một điểm trùng nhau.
Hơn nữa, nếu các cặp ánh xạ \(\{A, S\}\) và \(\{B, T\}\) là tương thích yếu, thì \(A, B, S\) và \(T\) có một điểm bất động chung duy nhất.
