Math khác

Điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric riêng.

Common fixed point

1. Định nghĩa

Cho tập $X \neq \emptyset$ và hai ánh xạ $f, g : X \to X$. Nếu tồn tại $x \in X$ sao cho $f(x) = g(x) = w$, thì $x$ được gọi là một điểm trùng nhau của $f$ và $g$, và $w$ được gọi là một giá trị trùng nhau của $f$ và $g$. Ta sẽ kí hiệu $C(f,g)$ là tập hợp tất cả các điểm trùng nhau của 2 ánh xạ $f$ và $g$.
Nếu $w = x$, tức là $f(x) = g(x) = x$, thì $x$ được gọi là một điểm bất động chung của $f$ và $g$.

2. Định nghĩa

Cho $f, g : X \to X$ là hai tự ánh xạ trên tập $X$. Khi đó, $f$ và $g$ được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán với nhau tại mỗi điểm trùng nhau, nghĩa là ta có $f(g(x)) = g(f(x))$ tại mỗi điểm $x \in X$ mà $f(x) = g(x)$.

3. Định lí

Giả sử rằng $A, B, S$ và $T$ là các tự ánh xạ của không gian mêtric riêng đầy đủ $(X, p)$ sao cho $AX \subseteq TX,\ BX \subseteq SX$ và với mọi $x, y \in X$, ta có \begin{equation} \label{ct2.1} p(Ax, By) \leq \varphi(M(x, y)), \end{equation} trong đó $\varphi \in \Phi_1$ và $$ M(x, y) = \max \Big\{ p(Sx, Ty),\ p(Ax, Sx),\ p(By, Ty),\ \dfrac{1}{2} \left[ p(Sx, By) + p(Ax, Ty) \right] \Big\}. $$ Nếu một trong các miền giá trị $AX$, $BX$, $TX$ và $SX$ là tập con đóng của $(X, p)$, thì
$\quad \quad$ (i) $A$ và $S$ có điểm trùng nhau,
$\quad \quad$ (ii) $B$ và $T$ có điểm trùng nhau.
Hơn nữa, nếu các cặp {$A, S$} và {$B, T$} là tương thích yếu, thì $A, B, S$ và $T$ có một điểm bất động chung duy nhất.

4. Định lí

Cho $A, B, S$ và $T$ là các tự ánh xạ xác định trên không gian mêtric riêng đầy đủ $(X, p)$ và thỏa mãn các điều kiện sau
(C1) $AX \subseteq TX$ và $BX \subseteq SX$;
(C2) Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho với mọi $x, y \in X$,
\begin{equation} \label{ct2.2} \mbox{nếu}\quad \varepsilon < M(x, y) < \varepsilon + \delta,\quad \mbox{thì ta có}\quad \quad p(Ax, By) \leq \varepsilon, \end{equation} trong đó \begin{align*} M(x, y) = \max \Big\{\, p(Sx, Ty), p(Ax, Sx), p(By, Ty), \dfrac{1}{2} \left[p(Sx, By) + p(Ax, Ty)\right]\Big\}, \end{align*} (C3) Với mọi $x, y \in X$, nếu $M(x, y) > 0$ thì $p(Ax, By) < M(x, y)$,
(C4) Với các hằng số $0 \leq a < \dfrac{1}{2},\ 0 \leq b < \dfrac{1}{2}$ và với mọi $x, y \in X$, ta có
\begin{align*} p(Ax, By) \leq \max \Big\{\, a [ p(Sx, Ty) + p(Ax, Sx) + p(By, Ty) ], b [ p(Sx, By) + p(Ax, Ty) ] \Big\}. \end{align*} Nếu một trong các tập giá trị $AX$, $BX$, $TX$ và $SX$ là tập con đóng của $(X, p)$, thì
(I) $A$ và $S$ có một điểm trùng nhau,
(II) $B$ và $T$ có một điểm trùng nhau.
Hơn nữa, nếu các cặp $\{A, S\}$ và $\{B, T\}$ là tương thích yếu, thì $A$, $B$, $S$ và $T$ có một điểm bất động chung duy nhất.

5. Hệ quả

Giả sử $A, B, S$ và $T$ là các tự ánh xạ xác định trên không gian mêtric riêng $(X,p)$ và thỏa mãn các điều kiện sau
(C1) $AX \subseteq TX$ và $BX \subseteq SX$;
(C2) Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho với mọi $x, y \in X$,
$$ \mbox{nếu}\quad \varepsilon < M(x, y) < \varepsilon + \delta,\quad \mbox{thì ta có}\quad p(Ax, By) \leq \varepsilon, $$ với \begin{align*} M(x, y) = \max \Big\{ p(Sx, Ty),\; p(Ax, Sx),\; p(By, Ty), \frac{1}{2}\big[ p(Sx, By) + p(Ax, Ty) \big] \Big\};\\ \end{align*} (C3) Với mọi $x, y \in X$ mà $M(x, y) > 0$, ta có $p(Ax, By) < M(x, y)$;
(C4) Với mọi $x, y \in X$ và $\displaystyle 0 \leq k < \frac{1}{3}$, ta có
\begin{align*} p(Ax, By) < k \Big[ p(Sx, Ty) + p(Ax, Sx) + p(By, Ty) + p(Sx, By) + p(Ax, Ty)\Big].\\ \end{align*} Nếu một trong các tập $AX, BX, SX$ và $TX$ là tập con đóng trong $(X, p)$, thì
(I) $A$ và $S$ có một điểm trùng nhau,
(II) $B$ và $T$ có một điểm trùng nhau.
Hơn nữa, nếu các cặp ánh xạ $\{A, S\}$ và $\{B, T\}$ là tương thích yếu, thì $A, B, S$ và $T$ có một điểm bất động chung duy nhất.

6. Bổ đề

Cho tập $\mathbb{Q} \subset [0, \infty) \times [0, \infty)$. Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương
(J1) Tồn tại một hàm $\delta : (0, \infty) \to (0, \infty)$ sao cho với mọi $\varepsilon > 0$, ta có $\delta(\varepsilon) > \varepsilon$ và
$ \quad $ (J1a) $ \quad \sup\{\delta(s) : s \in (0, \varepsilon)\} \geq \delta(\varepsilon)$,
$ \quad $ (J1b) $ \quad Nếu (s, t) \in \mathbb{Q}$ và $0 \leq s < \delta(\varepsilon)$, thì $t < \varepsilon$.
(J2) Tồn tại các hàm $\beta, \eta : (0, \infty) \to (0, \infty)$ sao cho với mọi $\varepsilon > 0$, ta có $\beta(\varepsilon) > \varepsilon, \ \eta(\varepsilon) < \varepsilon$ và với bất kì $(s, t) \in \mathbb{Q}$ mà $0 \leq s < \beta(\varepsilon)$, thì ta có $t < \eta(\varepsilon)$.
(J3) Tồn tại hàm nửa liên tục trên $\varphi : [0, \infty) \to [0, \infty)$, sao cho $\varphi$ không giảm và $\varphi(s) < s$ với mọi $s > 0$ và với $(s, t) \in \mathbb{Q}$ thì ta có $t \leq \varphi(s)$.
(J4) Tồn tại hàm nửa liên tục dưới $\delta : (0, \infty) \to (0, \infty)$, sao cho $\delta$ không giảm và $\delta(\varepsilon) > \varepsilon$ với mọi $\varepsilon > 0$ và với $(s, t) \in \mathbb{Q}$ mà $0 \leq s < \delta(\varepsilon)$ thì ta có $t < \varepsilon$.
(J5) Tồn tại hàm nửa liên tục dưới $\omega : [0, \infty) \to [0, \infty)$ sao cho $\omega$ không giảm và thỏa mãn $\omega(s) > s$ với $s > 0$ và với $(s, t) \in \mathbb{Q}$ thì ta có $\omega(t) \leq s$.

7. Định lí

Cho $(X,p)$ là một không gian mêtric riêng và $S, T, A_i$, ($i \in \mathbb{N}$) là các tự ánh xạ trên $X$. Với mọi $x, y \in X$ và $i, j \in \mathbb{N}$, ta đặt
$$ M_{ij}(x, y) = \Big\{ p(Sx, Ty),\; p(Sx, A_i x),\; p(Ty, A_j y),\; \frac{1}{2}\big[ p(Sx, A_j y) + p(Ty, A_i x) \big] \Big\}. $$ Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương.
(JT1) Tồn tại một hàm nửa liên tục dưới $\delta : (0, \infty) \to (0, \infty)$ sao cho với mọi $\varepsilon > 0$, ta có $\delta(\varepsilon) > \varepsilon$ và với mọi $x, y \in X$, với mọi $i, j \in \mathbb{N}$ khác biệt, $$ \mbox{nếu}\quad \varepsilon \leq M_{ij}(x, y) < \delta(\varepsilon), \ \text{thì ta có} \quad p(A_i x, A_j y) < \varepsilon. $$ (JT2) Tồn tại một hàm nửa liên tục trên $\varphi : [0, \infty) \to [0, \infty)$ sao cho $\varphi$ không giảm, thỏa mãn $\varphi(t) < t$ với mọi $t > 0$ và
$$ p(A_i x, A_j y) \leq \varphi(M_{ij}(x, y)), $$ với mọi $x, y \in X$ và với mọi $i, j \in \mathbb{N}$ phân biệt.
(JT3) Tồn tại một hàm nửa liên tục dưới $\omega : [0, \infty) \to [0, \infty)$ sao cho $\omega$ không giảm, thỏa mãn $\omega(s) > s$ với mọi $s > 0$ và $$ \omega(p(A_i x, A_j y)) \leq M_{ij}(x, y), $$ với mọi $x, y \in X$ và với mọi $i, j \in \mathbb{N}$ phân biệt.

Điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu Meir-Keeler trong không gian mêtric riêng