1. LÝ THUYẾT CHIA HẾT
HSG MTCT: THCS.
Chia hết cho 8
Bài 1:
Xác định \(a\) và \(b\) biết số \(\overline{274a369b6}\) chia hết cho \(2024\).
Giải
Ta có:
\(2024 = 2^3 \times 11 \times 23\).
Điều kiện chia hết cho \(8\):
Một số chia hết cho \(8\) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của nó lập thành một số chia hết cho \(8\).
Ba chữ số tận cùng của số \(\overline{274a369b6}\) là \(9b6\), nên:
\(9b6 = 900 + 10b + 6\).
Ta có:
\(900 \equiv 4 \pmod{8}, \quad 6 \equiv 6 \pmod{8}\).
Suy ra:
\(900 + 10b + 6 \equiv 4 + 6 + 10b \equiv 2 + 10b \pmod{8}\).
Do \(b\) là chữ số nên:
\(b = 3\) hoặc \(b = 7\).
Viết lại số đã cho:
\(
\overline{274a369b6}
= 274036906 + 10^5 a + 10b.
\)
Thao tác trên máy tính
Thử các giá trị \(b = 3\) và \(b = 7\) kết hợp với các chữ số
\(a = 0,1,2,\ldots,9\) (thao tác trên máy tính), ta tìm được giá trị thỏa mãn điều kiện chia hết cho \(2024\).
Kết luận:
\(\boxed{a = 8,\quad b = 3.}\)
Chia hết cho 25, 125
Bài 1: Cho biết số \(\overline{70a760b5}\) chia hết cho \(2025\). Tính \(a^2 + b^2\).Giải
Ta có: \(2025 = 25 \times 81\).
Điều kiện chia hết cho \(25\): Một số chia hết cho \(25\) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của nó lập thành một số chia hết cho \(25\).
Hai chữ số tận cùng của số \(\overline{70a760b5}\) là \(b5\).
Do đó: \( b5 \in \{25,\,75\}. \) Suy ra: \( b = 2 \quad \text{hoặc} \quad b = 7. \)
Viết lại số đã cho: \( \overline{70a760b5} = 70076005 + 10^5 a + 10b. \)
Thao tác trên máy tính
Thử các giá trị \(b = 2\) và \(b = 7\) kết hợp với các chữ số \(a = 0,1,2,\ldots,9\), ta tìm được giá trị thỏa mãn điều kiện chia hết cho \(2025\).
Suy ra: \( a = 4,\quad b = 7. \)
Do đó: \( a^2 + b^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65. \)
Chia hết cho 9
Bài 1: Cho biết số \(\overline{2354ab241}\) chia hết cho \(99\). Tính \(a^2 + b^2\).Giải
Điều kiện chia hết cho \(9\): Một số chia hết cho \(9\) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho \(9\).
Tổng các chữ số của số đã cho là: \( 2 + 3 + 5 + 4 + a + b + 2 + 4 + 1 = 21 + a + b. \)
Ta có: \( 21 + a + b = 18 + (3 + a + b). \)
Số đã cho chia hết cho \(9\) khi và chỉ khi: \( 3 + a + b \) chia hết cho \(9\).
Suy ra: \( a + b = 6 \) hoặc \( a + b = 15. \)
Nói cách khác: \( b = 6 - a \) hoặc \( b = 15 - a. \)
Viết lại số đã cho: $$ \overline{2354ab241} = 235400241 + 10^4 a + 10^3 b. $$
Suy ra số đã cho có dạng: $$ 235400241 + 10^4 a + 10^3 (6 - a) \quad \text{hoặc} \quad 235400241 + 10^4 a + 10^3 (15 - a). $$ Thao tác trên máy tính, ta tìm được giá trị thỏa mãn điều kiện chia hết cho \(99\).
Ta được: \( a = 8,\quad b = 7. \)
Do đó: \( a^2 + b^2 = 8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113. \)
Chia hết cho 7
Bài 1:
Cho số \(B = 111\ldots111 * 333\ldots333\) (với \(*\) là một chữ số nào đó), trong đó có mười chữ số \(1\) ở bên trái chữ số \(*\) và mười chữ số \(3\) ở bên phải chữ số \(*\).
Tìm giá trị của chữ số \(*\) để \(B\) chia hết cho \(7\).
Giải
Qui tắc: Một số chia hết cho \(7\) khi và chỉ khi tổng các chữ số với trọng số chia hết cho \(7\).
Ta có:
\(
111\ldots111 * 333\ldots333
\;\longrightarrow\;
333\ldots333 * 111\ldots111.
\)
Gán trọng số theo quy luật lặp:
\(
1,\,3,\,2,\,-1,\,-3,\,-2
\).
Bảng chữ số và trọng số tương ứng:
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | * | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 |
Tổng các chữ số với trọng số thu được: \( 19 - 3*. \)
Để số \(B\) chia hết cho \(7\) thì: \( 19 - 3* \equiv 0 \pmod{7}. \)
Lập bảng hoặc tính nhẩm, suy ra: \( * = 4. \)
Vậy: Chữ số cần tìm là \(\boxed{4}\).
Chia hết cho 2, 3, 7
Bài 1: Gọi \(m\) là số các số tự nhiên chia hết cho \(2\) (mỗi số có \(4\) chữ số), \(n\) là số các số tự nhiên chia hết cho \(3\) (mỗi số có \(5\) chữ số) và \(p\) là số các số tự nhiên chia hết cho \(7\) (mỗi số có \(6\) chữ số). Tính \(m + n + p\).Giải
Các số chia hết cho \(2\) có \(4\) chữ số là: \( 1000,\, 1002,\, \ldots,\, 9998 \) (step \(=2\)). Suy ra: \( \displaystyle m = \frac{9998 - 1000}{2} + 1. \)
Các số chia hết cho \(3\) có \(5\) chữ số là: \( 10002,\, 10005,\, \ldots,\, 99999 \) (step \(=3\)). Suy ra \( \displaystyle n = \frac{99999 - 10002}{3} + 1. \)
Các số chia hết cho \(7\) có \(6\) chữ số là: \( 100002,\, 100009,\, \ldots,\, 999999 \) (step \(=7\)). Suy ra \( \displaystyle p = \frac{999999 - 100002}{7} + 1. \)
Vậy \( \displaystyle m + n + p = \left(\frac{9998 - 1000}{2} + 1\right) + \left(\frac{99999 - 10002}{3} + 1\right) + \left(\frac{999999 - 100002}{7} + 1\right). \)
Không chia hết cho 3
Bài 1: Gọi \(S\) là tập hợp các số lẻ có \(3\) chữ số và không chia hết cho \(3\).a) Có bao nhiêu phần tử của tập hợp \(S\)?
b) Tính tổng của các phần tử đó.
Giải
a) Số phần tử của tập hợp \(S\)
Số các số lẻ có \(3\) chữ số là: \( 101,\, 103,\, \ldots,\, 999. \)
Số các số lẻ có \(3\) chữ số là: \( \displaystyle \frac{999 - 101}{2} + 1 = 450. \)
Số các số lẻ có \(3\) chữ số và chia hết cho \(3\) là: \( 105,\, 111,\, \ldots,\, 999. \)
Số các số lẻ có \(3\) chữ số và chia hết cho \(3\) là: \( \displaystyle \frac{999 - 105}{6} + 1 = 150. \)
Vậy số phần tử của tập hợp \(S\) là: \( 450 - 150 = 300. \)
b) Tổng các phần tử của tập hợp \(S\)
Tổng các số lẻ có \(3\) chữ số là: \( \displaystyle \frac{101 + 999}{2} \times 450. \)
Tổng các số lẻ có \(3\) chữ số và chia hết cho \(3\) là: \( \displaystyle \frac{105 + 999}{2} \times 150. \)
Suy ra tổng cần tìm: \( \displaystyle \frac{101 + 999}{2} \times 450 - \frac{105 + 999}{2} \times 150. \)
Tính được: \( S = 164700. \)
Đáp số: \(\boxed{164700}\).
