ĐIỂM BẤT ĐỘNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN MEIR-KEELER YẾU CYCLIC.
một số định lý về điểm bất động của H. K. Nashine, Z. Kadelburg cho các tự ánh xạ được xác định trên không gian mêtric riêng $0$-đầy đủ và thỏa mãn một số điều kiện nhất định dạng Meir-Keeler yếu cyclic..
1. Định nghĩa
Một hàm \(\psi : [0, +\infty) \to [0, +\infty)\) được gọi là hàm Meir-Keeler nếu với mỗi \(\eta > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho với mọi \(t \in [0, +\infty)\) thỏa mãn \(\eta \leq t < \eta + \delta\), ta có \(\psi(t) < \eta\).
2. Định nghĩa
Một hàm \(\psi : [0, +\infty) \to [0, +\infty)\) được gọi là hàm Meir-Keeler yếu nếu với mỗi \(\eta > 0\), tồn tại \(\delta > 0\) sao cho với mọi \(t \in [0, +\infty)\) thỏa mãn \(\eta \leq t < \eta + \delta\), tồn tại \(n_0 \in \mathbb{N}\) sao cho \(\psi^{n_0}(t) < \eta\), trong đó \(\psi^{n_0}\) là phép lặp hàm \(\psi\) \(n_0\) lần.
3. Tập hợp các hàm Meir-Keeler yếu
Ta ký hiệu \(\Psi\) là tập hợp tất cả các hàm Meir-Keeler yếu \(\psi : [0, +\infty) \to [0, +\infty)\) thỏa mãn các điều kiện sau. \begin{align*} &(\psi_1) \text{ } \psi(t) > 0 \text{ với mọi } t > 0 \text{ và } \psi(0) = 0;\\ &(\psi_2) \text{ Với mọi } t \in [0, +\infty), \text{ dãy } \{\psi^n(t)\}_{n \in \mathbb{N}} \text{ là dãy giảm; }\\ &(\psi_3) \text{ Với dãy } \{t_n\} \subset [0, +\infty), \text{ ta có }\\ & \quad \quad \text{ } (a) Nếu \displaystyle \lim_{n \to \infty} t_n = \gamma > 0, thì \displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi(t_n) < \gamma;\\ & \quad \quad \text{ } (b) Nếu \displaystyle \lim_{n \to \infty} t_n = 0, thì \displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi(t_n) = 0. \end{align*}
Ngoài ra, ta ký hiệu \(\Phi\) là tập hợp tất cả các hàm Meir-Keeler yếu không giảm, liên tục \(\varphi: [0, +\infty) \to [0, +\infty)\) và thỏa mãn các điều kiện sau. \begin{align*} &(\varphi_1) \quad \varphi(t) > 0 \text{ với mọi } t > 0 \text{ và } \varphi(0) = 0;\\ &(\varphi_2) \quad \varphi \text{ là hàm cộng tính dưới, tức là với mọi } \mu_1, \mu_2 \in [0, +\infty), ta có:\\ &\quad \quad \quad \quad \varphi(\mu_1 + \mu_2) \leq \varphi(\mu_1) + \varphi(\mu_2); \\ &(\varphi_3) \quad \text{Với mọi } t \in (0, +\infty), \text{ ta có } \lim\limits_{n \to \infty} t_n = 0 \text{ nếu và chỉ nếu } \ \lim\limits_{n \to \infty} \varphi(t_n) = 0. \end{align*}
4. Định nghĩa
Cho \((X, p)\) là một không gian mêtric riêng, \(m \in \mathbb{N}\), các hàm \(\psi\in \Psi,\ \varphi\in \Phi\) và \(A_1, A_2, \ldots, A_m\) là các tập con khác rỗng của \(X\) sao cho \(\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{m} A_i\).
Một ánh xạ \(f : X \to X\) được gọi là \((\psi \circ \varphi)\)-co yếu cyclic nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) \(\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{m} A_i\) là một biểu diễn cyclic của \(X\) đối với \(f\);
(2) Với mọi \(x \in A_i\), \(y \in A_{i+1}\), \(i = 1, 2, \ldots, m\), ta có
$$
\varphi(p(f(x), f(y))) \leq \psi(\varphi(p(x, y))),
$$
trong đó quy ước \(A_{m+1} = A_1\).
5. Định lí
Cho \((X, p)\) là một không gian mêtric riêng \(0\)-đầy đủ, \(m \in \mathbb{N}\) và \(A_1, A_2, \ldots, A_m\) là các tập con đóng, khác rỗng của \((X, p)\) sao cho \(\displaystyle Y = \bigcup_{i=1}^{m} A_i\). Giả sử rằng \(f : Y \to Y\) là một ánh xạ \((\psi \circ \varphi)\)-co yếu cyclic. Khi đó, \(f\) có một điểm bất động duy nhất \(z \in Y\). Hơn nữa, \(\displaystyle z \in \bigcap_{i=1}^{m} A_i\).
5. Định nghĩa
Cho \((X, p)\) là một không gian mêtric riêng, \(m \in \mathbb{N}\), và \(A_1, A_2, \ldots, A_m\) là các tập con khác rỗng của \(X\) sao cho
\(
\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^m A_i.
\)
Một ánh xạ \(f : X \to X\) được gọi là phép \((\psi, \varphi)\)-co yếu cyclic nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(1) \(\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^m A_i\) là một biểu diễn cyclic của \(X\) đối với \(f\);
(2) Với mọi \(x \in A_i\), \(y \in A_{i+1}\), \(i = 1, 2, \ldots, m\), ta có:
$$
p(f(x), f(y)) \leq \psi(p(x, y)) - \varphi(p(x, y)),
$$
ở đây ta quy ước \(A_{m+1} = A_1\).
6. Định lí
Cho \((X, p)\) là một không gian mêtric riêng \(0\)-đầy đủ, \(m \in \mathbb{N}\) và \(A_1, A_2, \ldots, A_m\) là các tập con đóng, khác rỗng của \((X, p)\) và \(\displaystyle Y = \bigcup_{i=1}^m A_i\). Giả sử rằng \(f : Y \to Y\) là một phép \((\psi , \varphi)\)-co yếu cyclic . Khi đó, \(f\) có duy nhất một điểm bất động \(z \in Y\). Hơn nữa, ta có \(\displaystyle z \in \bigcap_{i=1}^m A_i\).
